مشتق تابع|نقاط اکسترمم

مشتق / مشتق توابع نمائی

درسنامه
تمرین

در این مبحث, مسایلی را مورد بحث قرار میدهیم که جواب آنها اکسترمم مطلق یک تابع روی یک بازه بسته است. در این مسایل از قضیه اکسترمم استفاده می شود که وجود یک مقدار ماکسیمم مطلق و یک مقدار مینیمم مطلق را برای تابعی روی یک بازه بسته تضمین میکند، به شرطی که تابع روی آن بازه بسته پیوسته باشد. این روش را با چند مثال نمایش میدهیم.
مثال 1: یک سازنده جعبه، می خواهد از تکه مقواهایی که باید بریده شوند برابر12 اینچ مربع با بریدن چهار مربع متساوی از چهار گوشه هریک، و بالازدن جوانب آن , جعبه سرباز بسازد. طول ضلع مربع هایی که باید بریده شوند چقدر باشد تا حجم جعبه به حداکثر ممکن برسد؟
حل: فرض کنید طول ضلع هریک از مربع هایی که باید بریده شوند چقدر باشد تا حجم جعبه اینج مکعب باشد. طول ابعاد جعبه, برحسب اینج برابر است با نقاط اکسترمم ، , . شکل زیر یک تکه مقوای داده شده را نشان می دهد

و شکل زیر جعبه مطلوب را.

حجم جعبه برابر حاصلضرب سه بعد آن است لذا

مقدار نقاط اکسترمم مورد نظر در بازه بسته قرار دارد. چون روی بازه بسته پیوسته است, از قضیه اکسترمم نتیجه می شود که روی این بازه دارای یک مقدار ماکسیمم مطلق است. همچنین میدانیم که این مقدار ماکسیمم مطلق یا به ازای یک عدد بحرانی به دست می آید و یا به ازای یکی از نقاط انتهایی. برای محاسبه اعداد بحرانی نقاط اکسترمم ابتدا را محاسبه مکنیم و حالاتی که یا وجود ندارد را به دست میآوریم . از معادله قبل داریم:

بنابراین

نقاط اکسترمم به ازای تمام مقادیر وجود دارد. اگر و از آن نتیجه می شود. که . اعداد بحرانی عبارتند از 2 و 6 و هر دو در بازه بسته هستند. مقدار ماکسیمم مطلق یا به ازای یک عدد بحرانی به دست می آید و یا به ازای یکی از نقاط انتهایی چون نقاط اکسترمم و مقدار ماکسیمم مطلق روی عدد 128 است که در 2 به دست می آید. پس بیشترین حجم ممکن 128 اینچ مکعب است و این مقدار وقتی به دست می اید که طول ضلع مربع هایی که باید بریده شوند برابر با 2 اینج باشد.
مثال 2: دو نقطه نقاط اکسترمم و در دو طرف یک رودخانه مستقیم به عرض 3 کیلومتر مقابل هم قرار دارند. نقطه که 2 کیلومتر از نقطه فاصله دارد, در همان طرف از رودخانه واقع است که نقطه . یک شرکت تلفن میخواهد از نقاط اکسترمم به کابل بکشد. اگر هزینه هرکیلومتر کابل در زیر آب 25 درصد بیش از هزینه کابل روی زمین باشد. کدام خط کابل برای شرکت مقرون به صرفه تر است.
حل: به شکل زیر رجوع کنید.

فرض کنید نقطه ای چون نقاط اکسترمم واقع در ساحل مشترک و بین و در جایی است که کابل از به و از آنجا به میرود . و فرض کنید فاصله بین تا , کیلومتر باشد. پس فاصله بین تا , کیلومتر است و نقاط اکسترمم . فرض کنید هزینه هر کیلومتر کابل روی زمین تومان و هزینه هرکیلومتر کابل زیر اب تومان باشد ( مقداری ثابت). اگر تومان کل هزینه کابل از تا و از تا باشد. داریم. نقاط اکسترمم چون بر پیوسته است، می توانیم از قضیه اکسترمم استفاده کنیم، لذا روی هم مقدار ماکسیمم مطلق دارد و هم مقدار مینیمم مطلق. در اینجا منظور ما یافتن مقدار مینیمم مطلق است.

به ازای همه مقادیر نقاط اکسترمم وجود دارد. اگر بنویسیم و معادله را نسبت به حل کنیم داریم

عدد 4- یک ریشه اضافی معادله بالا است و 4- هم در بازه نقاط اکسترمم قرار ندارد. بنابراین عدد c در نیست. لذا مقدار مینیمم مطلق c بر باید به ازای یکی از نقاط انتهایی بازه به دست آید. حال و را محاسبه می کنیم

چون مقدار نقاط اکسترمم مقدار مینیمم مطلق C روی عدد است که به ازای به دست میآید. پس، برای صرف کمترین هزینه باید کابل در زیر آب و به طور مستقیم از A تا C کشیده شود

1. مطلوب است محاسبه مساحت بزرگترین مستطیلی که محیط آن 255 سانتیمتر است.
2. مطلوب است محاسبه مساحت بزرگترین مثلث متساوی الساقین که محیط آن 18 سانتی متر است.
3. مطلوب است عددی از بازه [1,5] که تفاضل بین آن عدد و مربعش ماکسیمم باشد.
4. مطلوب است عددی از بازه [1/3,2] که مجموع ان عدد و عکسش ماکسیمم باشد.
5. مطلوب است مساحت بزرگترین مستطیلی که دو راس آن محور x ها باشد، دو راس دیگرهم روی یا بالای محور x ها باشد و هم روی سهمی نقاط اکسترمم
6. مطلوب است مساحت بزرگترین مستطیل قابل محاط در یک دایره به شعاع r .
7. یک سازنده قوطی حلبی، با بریدن مربع های متساوی از چهار گوشه ورق های حلبی به ابعاد 8 اینچ و 15 اینچ و بریدن چهار طرف آن قوطی های سرباز می سازد. مطلوب است طول ضلع مربع هایی که باید بریده شود، تا حجم قوطی ساخته شده بیشترین مقدار ممکن باشد
8. میخواهیم اطراف قطعه زمین مستطیل شکلی را نرده بکشیم و سپس با نرده دیگری ان را از وسط نصف کنیم. اگر بهای هر فوت نرده وسطی دو دلار و بهای هر فوت نرده دیگر پنج دلار باشد، مطلوب است ابعاد قطعه زمینی با بیشترین مساحت ممکن که بتوان آن را با 965 دلار نرده کشی کرد.
9. می خواهیم سه طرف قطعه زمین مستطیل شکلی را که یک طرف آن رودخانه است و به عنوان حصار طبیعی محسوب می شود، نرده بکشیم. با این شرایط ابعاد بزرگترین قطعه زمین را بیابید که بتوان با 25 متر نرده محصور شود.
10. برای اینکه بسته ای با پست فرستاده شود، مجموع طول کمر ( محیط یک مقطع عرضی) آن نباید از 100 اینچ تجاوز کند میخواهیم بسته ای به شکل مکعب مستطیل را که مقطع عرضی آن مربع است با پست بفرستیم. با این شرایط، ابعاد بسته ای را که دارای بزرگترین حجم ممکن است بیابید.
11. جزیره ای در نقطه ای چون A واقع است که 6 کیلومتر از B ، نزدیکترین نقطه یک ساحل مستقیم به A ، فاصله دارد. شخصی که ساکن جزیره است میخواهد به نقطه ای چون C برود که در ساحل قرار دارد و در امتداد ساحل فاصله آن تا B ، 9 کیلومتر است. این شخص می تواند قایقی با ترخ هر کیلومتر 25 دلار کرایه کند و با آن تا نقطه ای چون P واقع بین B و C برود. از انجا، از طریق یک جاده مستقیم، با یک تاکسی با نرخ هر کیلومتر 2 دلار خود را به C برساند. از A به C ارزانترین راه کدام است.
12. تمرین 11 را در حالتی که فاصله CB و در امتداد ساحل تنها 7 کیلومتر باشد، حل کنید.
13. مثال 2 ی این بخش را درصورتی که فاصله نقطه C تا B در امتداد رودخانه 6 کیلومتر باشد، حل کنید.
14. مثال 2 و تمرین های 11، 12، و 13 حالت های خاصی از مساله کلیر تر زیرند: فرض کنید نقاط اکسترمم که در آن x در است و . نشان دهید برای اینکه مقدار مینیمم مطلق به ازای عددی از بازه باز به دست می آید، نامساوی باید برقرار باشد.
15. اگر برد گلوله ای نقاط اکسترمم فوت باشد، انگاه که در آن سرعت اولیه بر حسب فوت بر ثانیه، شتاب ثقل بر حسب فوت بر مربع ثانیه، و θ اندازه زاویه بین لوله تفنگ و افق بر حسب رادیان است. مقدار θ چقدر باشد تا برد ماکسیمم باشد.