به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

فرض كنيد تابع f بصورت زير تعريف شده باشد

 نمودار اين تابع در شكل زير رسم شده است .

براي اينكه نشان دهيم وقتي  با مقادير بزرگتر از 2 به 2 نزديك مي شود ،  به طور بيكران افزايش مي يابد پس می نویسیم

حال  را از سمت چپ به 2 ميل ميدهيم و بررسي ميكنيم كه وقتي  با مقادير کمتر از 2 به 2 نزديك و نزدیکتر مي شود ،  به طور بيكران افزايش مي يابد پس

بنابراين وقتي  از سمت راست يا از سمت چپ به 2 نزديك ميشود  بطور بيكران افزايش مييابد و لذا مينويسيم :

تعريف 1

فرض كنيد تابع  به ازاي هر عدد واقع دريك بازه باز چون  كه  شامل عددي مانند  است بجز احتمالا در خود عدد  تعريف شده باشد .   وقتي  به سمت  ميل كند ،  به طور بيكران افزايش مي يابد و مينويسيم :

(1)

هرگاه براي هر  ، يك  وجود داشته باشد كه وقتي ، راه ديگر بيان تعريف فوق به شرح زير است
وقتي  به سمت عددي چون  ميل ميكند  به طور بيكران افزايش مي يابد ،   هرگاه به ازاي تمام  هائي كه به اندازه كافي نزديك به  باشند و مساوي با  نباشند   ، بتوانيم  را به اندازه دلخواه بزرگ كنيم ( يعني انرا از هر عدد مثبت بزرگتر سازيم ) .
توجه : دوباره تاكيد ميكنيم, یک عدد حقيقي نيست . بنابراين وقتي مينويسيم  ، معني آن مثل  نيست كه در آن يك عدد حقيقي است.

معادله (1) را مي توان چنين خواند . حد  وقتي   به سمت  ميل ميكند بينهايت است . در اين مورد حد وجود ندارد . اما نماد  رفتار مقادير تابع را وقتي  به  نزديك ميشود ، مشخص نمايد . به طريق مشابه ميتوانيم رفتار تابعي را كه مقادير آن به طور بيكران افزايش مي يابد را مشخص كنيم . براي اينكه به اين مطلب هدايت شويم ، تابع  را كه بصورت زير تعريف ميشود در نظر ميگيريم

نمودار اين تابع در شكل زير رسم شده است .

مقادير تابع  كه از  بدست مي ايند قرينه تابع  است كه از تابع  بدست ميايد . پس وقتي  چه از سمت راست و چه از سمت چپ   به 2 ميل كند  بطور بيكران كاهش ميابد بنابراين مينويسيم :

تعريف 2: تابع   به ازاي هر عدد واقع در بازه بازي مانند  كه شامل  مي باشد بجز احتمالا در خود  تعريف شده باشد . وقتي  به سمت  ميل كند   بطور بيكران كاهش مي يابد و مي نويسيم :

(2)

هرگاه براي هرعدد  يك  وجود داشته باشد كه وقتي
توجه : معادله (2) را ميتوان چنين خواند ، حد  را وقتي   به سمت   ميل مي كند بينهايت منفي است . بازهم مشاهده ميكنيد كه حد وجود ندارد و نماد   رفتار تابع را وقتي  به   نزديك مي شود نشان مي دهد . مي توان حد هاي يكطرفه اي را كه بينهايت باشد نيز درنظر بگيريم به وي‍‍ژه داريم

اگر براي تمام اعداد در بازه بازي چون  تعريف شده باشد و اگر براي هر  يك  وجود داشته باشد كه به طريق مشابه مي توان حد هاي زير را هم تعريف نمود :

حال فرض كنيد  تابعي است  كه به صورت زير تعريف مي شود :

(3)

شكل زير نمودار اين تابع را نشان مي دهد:

با مراجعه به شكلهاي قبل تفاوت بين رفتار تابع رسم شده در شكل زير و توابع مربوط به دو شكل ديگر را مورد توجه قرار مي دهيم . مشاهده مي كنيد كه

يعني در مورد تابع 3 وقتي با مقادير كمتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران کاهش پيدا ميكند و وقتي با مقادير بيشتر از 1 به سمت 1 ميل ميكنند مقادير تابع بطور بيكران افزايش پيدا ميكند
قبل از آوردن چند مثال ، به دو قضيه حدي در مورد حدهاي بينهايت نيازمنديم

قضيه حدي 14 : اگر  يك  عدد صحيح مثبت باشد ، انگاه

نمونه 1 : از قضيه حدي 14 نتيجه مي شود كه

و از قضيه حدي 14 نتيجه مي شود كه

قضيه حدي 15 : فرض كنيد  يك عدد حقيقي دلخواه

و يك عدد ثابت ناصفر باشد ، آنگاه
1 -  اگر  و اگر از طريق مقادير مثبت  ،  ، داريم
2 -  اگر  و اگر از طريق مقادير منفي ,  ، داريم
3 -  اگر  و اگر از طريق مقادير مثبت ، ، داريم
4 -  اگر  و اگر از طريق مقادير منفي ، ، داريم
اگر بجاي  قرار دهيم  يا  اين قضيه بازهم برقرار است .

نمونه 2

الف : براي محاسبه در اينجا  از طريق مقادير مثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه و لذا اگر قضيه حدي 12-1  رابكار ببريم داريم

ب : براي محاسبه در اينجا  از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه و لذا اگر قضيه حدي 12-2  رابكار ببريم داريم

ج : براي محاسبه در اينجا  از طريق مقادير مثبت به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه و لذا اگر قضيه حدي 12-3  رابكار ببريم داريم

د : براي محاسبه در اينجا  از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكند ملاحظه ميكنيد كه و  لذا اگر قضيه حدي 12-4  رابكار ببريم داريم

مثال 14  : مطلوب است :
الف :

ب :

حل :
الف :

به آساني ثابت ميشود حد صورت برابر 14 است . در اين معادله حد مخرج برابر صفر است و مخرج با مقادير مثبت به صفر ميل ميكند و بنا بر قضيه حدي 12-1  حد تابع برابر است با

(ب) :

در اين حالت حد مخرج صفر است و مخرج با مقادير منفي به 0 ميل ميكنيد بنابراين با توجه به قضيه حدي 12-3  داريم

مثال 15 : مطلوب است

حل :
داريم بنابراين نتيجه ميگيريم علاوه براين داريم و   از طريق مقادير منفي به صفر ميل ميكند . پس بنا به قضيه 12-4  حدي داريم :

يادآوري ميكنيم كه چون  و   عدد نيستند ؛ قضاياي حدي ، براي حدهاي بینهايت اعتبار ندارند . با اين وجود در مورد اين حدها ويژگيهاي زير برقرارند . اثبات آنها براي تمرين واگذار ميشوند .

قضيه 16 : اگر  , و c که عدد دلخواه باشد انگاه اگر  , و c عدد دلخواه باشد انگاه

اگر بجای     قرار دهیم    یا        این قضیه همچنان معتبر است

نمونه 3 : چون        و     پس از قضیه های فوق    (i)   نتیجه می شود  که 

قضیه 17 : اگر ,  و a یک عدد ثابت مخالف با 0  باشد , انگاه اگر

اگر

این قضیه برقرار است اگر بجای   بنویسیم   یا     

قضیه 18 : اگر    ,   و  c  یک عدد ثابت مخالف با صفر باشد انگاه اگر

اگر

این قضیه همچنان برقرار است اگر به جای    بنویسیم   یا      .

تعریف 3: خط    را یک مجانب قائم نمودار  مینامند هرگاه دست کم یکی از عبارتهای زیر درست شود باشد :
(I) اگر

(II) اگر

(III) اگر

(IV) اگر

مثال 16 : مجانب قائم نمودار تابع تعریف شده توسط معادله    را بیابید و نمودار    را رسم کنید .
حل :

از تعریف نتیجه می شود که خط   یک مجانب قائم نمودار   است نمودار   در شکل زیر نشان داده شده است .