به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

اگر مشتق تابع باشد, انگاه نیز خود یک تابع است و مشتق اول نامیده می شود. اگر مشتق وجود داشته باشد, آن را مشتق دوم می نامیم و با علامت نمایش میدهیم. ( که خوانده می شود اف زگوند ) به طور مشابه مشتق سوم را به عنوان مشتق اول در صورت وجود تعریف کرده و با علامت نشان میدهیم ( و می خوانیم اف تیرس ).
اگر یک عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1 باشد , مشتق م تابع رابه عنوان مشتق اول م تابع تعریف میکنیم و آن را با علامت نشان میدهیم. پس میتوانیم خود تابع را با نیز نمایش دهیم. علامت دیگری برای مشتق ام به صورت به وسیله تعریف شده باشد مشتق ام را با علامت نیز میتوان نشان داد.
مثال 1: اگر تابع به صورت تعریف شده باشد تمام مشتق های را پیدا کنید.
حل:

چون آهنگ تغیر در یک واحد از تغییر را به دست میدهد, , که مشتق است, آهنگ تغیر در یک واحد از تغییر را به دست میدهد. اگر نقطه ای روی نمودار باشد, آنگاه ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در نقطه می باشد. بنابراین آهنگ تغییر ضریب زاویه خط مماس نسبت به x در نقطه است.
مثال 2: فرض کنید ضریب زاویه خط مماس بر منحنی در نقطه باشد. آهنگ لحظه ای تغییر در یک واحد از تغییر در نقطه را پیداکنید.
حل:

اهنگ لحظه ای تغییر در یک واحد از تغیر برابر با یا به عبارت دیگر است.

در نقطه , داریم . بنابراین , در نقطه تغییر 8 برابر تغییر است.
مشتق دوم یعنی بر حسب واحد در واحد بیان میشود, که عبارت است از واحد در واحد در واحد ( مربع واحد ) . مثلا در حرکت مستقیم الخط, اگر در لحظه ( ثانیه ) فاصله از مبدا سانتیمتر باشد, سرعت ذره در لحظه , سانتیمتر در ثانیه و آهنگ لحظه ای تغییر سرعت در ( ثانیه ), سانتیمتر بر مربع ثانیه می باشد. در فیزیک آهنگ لحظه ای تغییر سرعت را شتاب لحظه ای می نامند بنابراین اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله در حال حرکت باشد و در لحظه (ثانیه ) سرعت لحظه ای سانتیمتر در ثانیه و شتاب سانتیمتر بر مربع ثانیه باشد, آنگاه برابر با مشتق نسبت به و یا مشتق دوم نسبت به خواهد بود. یعنی

وقتی که افزایش می یابد و وقتی که کاهش می یابد وقتی که تغییر نمیکند. چون مقدار سرعت یک ذره در لحظه (ثانیه) برابر سانتیمتر بر ثانیه است , نتایج زیر را داریم.
1. اگر و ,مقدار سرعت در حال افزایش است
2. اگر و ,مقدار سرعت در حال کاهش است
3. اگر و ,مقدار سرعت در حال کاهش است
4. اگر و ,مقدار سرعت در حال افزایش است
مثال3: ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله حرکت زیر حرکت میکند.

که در آن سانتیمتر, فاصله جهت دار ذره از مبدا در لحظه ( ثانیه ) می باشد. اگر سانتیمتر در ثانیه, سرعت لحظه ای و سانتیمتر بر مربع ثانیه شتاب لحظه ای در لحظه ( ثانیه ) باشد. مقادیر و و را وقتی به دست آورید.
حل:

چون تنها مقدار حقیقی از ریشه سوم 8 به دست می آید, بنابراین یا
وقتی که

و

بنابراین, در ثانیه 1 شتاب صفر و این موقعی است که ذره از مبدا 2.5 سانتیمتر فاصله دارد و با سرعت 2 سانتیمتر در ثانیه به طرف راست درحرکت است.
کاربردهای دیگر مشتق دوم, موارد استفاده آن در پیدا کردن اکسترمم ( مینیمم یا ماکسیمم) نسبی توابع در رسم نمودار تابع است. کاربرد مهمی از مشتقهای مراتب بالاتر, استفاده از انها در بسط توابع به صورت سری نامتناهی است که در بخشهای بعدی خواهیم دید.
مثال 4: ثابت کنید

حل: برای اثبات رابطه فوق از استقرا ریاضی و فرمولهای زیر استفاده میکنیم

ابتدا نشان میدهیم که معادله فوق برای درست است.

بنابراین به ازای برقرار است. حال فرض میکنیم که معادله فوق به ازای درست باشد. ثابت می کنیم که به ازای نیز درست است. بنابراین فرض میکنیم که

باید ثابت کنیم

میتوان نوشت.