اگر
تابعي باشد كه قلمرو آن
متغير باشد
، نماد
مقدار خاصي از
را كه متناظر با مقدار
است نمايش ميدهد .
وقتي يك تابع را تعريف
ميكنيم ، بايد قلمرو آنرا بطور صريح و يا ضمني
مشخص كنيم
مثلا اگر تابع
بصورت زير تعريف شود
معلوم است كه
هر عدد حقيقي مي تواند باشد ولي اگر تابع
را بصورت زير تعريف كرده باشيم
، آنگاه قلمرو تابع
بازه
است به طريق مشابه اگر تابع
به وسيله معادله زير تعريف شود :
معلوم است كه
اين خارج قسمت براي
معين نيست بنابراين قلمرو تابع
مجموعه تمام اعداد حقيقي بجز
است .
اگر
معلوم است كه
بايد در بازه بسته
باشد زيرا
براي
معين نيست ( يعني
، يك عدد حقيقي نيست ) بنابراين دامنه و برد تابع
به قرار زير است :
فرض كنيد
مطلوب است :
حل:
فرض كنيد
مطلوب است
بطوريكه
حل :
در دومين مرحله از اين راه حل ، صورت
و مخرج را در مزدوج صورت ضرب كرديم تا كسر را گويا كنيم كه با اين عمل ، عامل
مشترك
در صورت و مخرج پديد آمد . اكنون چند عامل روي
توابع تعريف ميكنيم . در اين تعريفها ، به وسيله جمع ، تفريق ، ضرب و تقسيم توابع
جديدي از توابع مفروض پديد مي آيند كه به همين علت آنها را مجموع ، حاصلضرب ، خارج
قسمت و تفاضل توابع مي ناميم .
توابع f و g داده شده اند :
الف – مجموع آنها را با علامت
نمايش مي دهيم و به صورت
زير تعريف مي كنيم:
ب
-
تفاضل
آنها را با علامت
نمايش مي دهيم و به صورت
زير تعريف مي كنيم:
ج
-
حاصلضرب
آنها را با علامت
نمايش مي دهيم و به صورت
زير تعريف مي كنيم:
د –
خارج قسمت
آنها را با علامت
نمايش مي دهيم و به صورت
زير تعريف مي كنيم:
در هريك
از موارد بالا قلمرو تابع حاصل
، متشكل از آن مقادير
است كه در قلمرو توابع
مشترك هستند بجز در حالت (د) كه بايد مقاديري را
كه مخرج را برابر صفر قرار مي دهد حذف كرد
.
فرض كنيد
مطلوب است :
(الف) .
(ب) .
(ج) .
(د) .
همچنين در هريك از موارد فوق ، قلمرو وبرد تابع حاصل را معين كنيد .
حل :
قلمرو
بازه
و قلمرو
بازه
است بنابراين در قسمتهاي (الف) ، (ب) و (ج)
قلمرو توابع حاصل برابر
است در قسمت (د) مخرج به ازاي
برابر صفر است بنابراين بايد 4 را از قلمرو حذف
كرد ، پس قلمرو
بازه
است . براي نشان دادن حاصلضرب ضرب
در خودش يعني
علامت
را بكار مي بريم مثلا اگر تابع بصورت
تعريف شده باشد ، انگاه تابع
به صورت زير است :
علاوه بر اعمالي كه بيان شد عمل ديگري بنام تركيب دو تابع مفروض نيز وجود دارد.
اگر توابع
داده شده باشند تابع مركب و با نماد
و با ضابطه زير تعريف
مي شود
و قلمرو
عبارت است از مجموع تمام
هاي واقع در قلمرو
،
بشرطي
كه
در قلمرو
باشد .
فرض كنيد
تابع
را بيابيد وقلمرو آنرا بدست اورید
حل:قلمرو
بازه
و قلمرو
بازه
است بنابراين قلمرو متشكل از مجموعه اي از اعداد
حقيقي است كه به ازاي آنها
پس قلمرو
است .
فرض كنيد توابع
با ضابطه
تعريف شده باشند مطلوب است توابع مركب زير
(الف) .
(ب) .
(ج) .
(د) .
در هرمورد قلمرو تابع مركب را نيز بدست اوريد
حل: قلمرو
بازه
و قلمرو
بازه
است .
(الف) .
پس قلمرو
بازه
است .
(ب) .
پس قلمرو
بازه
است .
(ج) .
پس قلمرو
عبارت است از
و يا مجموع تمام اعداد حقيقي بجز بازه
.
(د) .
پس قلمرو
بازه
است . توجه كنيد با وجود آنكه
براي تمام مقادير
معين است ولي قلمرو
بنا به تعريف عبارت است از مجموعه همه
هاي از قلمرو
كه به ازاي انها
در قلمرو
است .
(الف) . تابعي چون
را تابعي زوج گويند هر گاه به ازاي هر
در قلمرو
داشته باشيم
(ب) . تابعي چون
را تابعي فرد گويند هر گاه به ازاي هر
در قلمرو
داشته باشيم
در هر دو مورد واضح است كه براي هر
در قلمرو
،
نيز بايد در قلمرو
باشد .
از تعريف تابع زوج و قضيه فوق قسمت
(الف) نتيجه مي شود كه نمودار تابع زوج ، نسبت به محور
متقارن است و از تعريف تابع فرد و قضيه فوق قسمت
( ب) نتيجه مي شود كه نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است .
اگر برد تابع فقط شامل يك عدد باشد ،
انرا تابع ثابت مي ناميم . بنابراين اگر
و
يك عدد حقيقي دلخواه باشد ، انگاه
يك تابع ثابت است و نمودار آن خطي است مستقيم به
موازات محور
ها و به فاصله جهت دار
از محور
ها .
اگر تابع
بصورت زير تعريف شود
:
كه در آن
يك عدد طبيعي و
اعداد حقيقي باشند
، آنگاه
را يك تابع چند جمله اي از درجه
مي ناميم . تابع
كه بصورت زير تعريف شده باشد
يك تابع چند جمله اي از درجه 5 است .
اگر درجه يك تابع چند جمله اي 1 باشد ،
انرا يك تابع خطي مي نامند ، اگر درجه آن 2 باشد ، آنرا يك تابع درجه دوم ، و اگر
از درجه 3 باشد آنرا يك تابع درجه سوم مي نامند . تابع خطي خاصي با تعريف
تابع هماني نام دارد .
مثالي ازتوابع جبري
فرض كنيد
باشد تابع
را بدون علامت قدر مطلق بنويسيد
براي
كداميك از موارد زير بدست ميايد :
الف : 0
ب :
ج :
د : هيچكدام
حل : الف درست است چون
پس
بنابراين
اگر
و
دامنه تعريف
كدام است :
الف :
ب:
ج :
د :
هيچكدام
حل : ج درست است زيرا دامنه تابع
، مجموعه تمام اعداد
حقيقي بجز عدد يك و دامنه
مجموعه تمام اعداد حقيقي بجز عدد صفر مي باشد .
براي تعيين دامنه
با توجه به تعريف اولا بايد
باشد يعني نبايد صفر باشد . ثانيا بايد
يعني
بعبارت ديگر
باشد
بنابراين
اگر
و
دامنه تعريف تابع
كداميك از موارد زير است :
الف :
ب :
ج :
د : هيچكدام
حل :
چون دامنه تابع
مجموعه
است پس دامنه
مجموعه
يعني بايد
لذا دامنه توابع
عبارت است از
.
اگر توابع
به صورت زير تعريف شده باشد فرمول
را پيدا كنيد
حل :
بنابراين خواهيم داشت :
براي توابع تعريف شده در مثال
قبل ، فرمول
و دامنه انرا تعيين كنيد .
حل :
با جايگذاري (2) و (3) در (1) داريم
براي هركدام از توابع زير معين كنيد زوج است يا فرد و يا هيچكدام
الف .
ب .
ج .
د .
ه .
حل :
الف )
بنابراين
زوج است
ب )
بنابراين فرد است
ج )
بنابراين زوج است
د ) فرد است
ه ) نه زوج است نه فرد
تابعي را پيدا كيد كه هم زوج
باشد هم فرد
حل: فرض كنيد
تابع مورد نظر باشد ، چون
زوج است داريم
(1)
از طرفي فرد است ، پس
(2)
با جايگذاري (2) در (1) داريم
اگر
و
دو تابع فرد باشند ثابت كنيد
و
توابعي زوج هستند
حل:
بنابراين
زوج است و بهمين ترتيب
در هريك از موارد زير ،
درباره زوج يا فرد بودن تابع
بحث كنيد :
(الف) توابع
و
هردو زوج باشند .
(ب) توابع
و
هردو فرد باشند .
(ج) تابع
زوج و تابع
فرد
باشد .
(د) تابع
فرد و تابع
زوج
باشد .
حل :
(الف)
بنابراين
زوج است
ب)
بنابراين
فرد است .
حل قسمتهاي ج و د مشابه است
تابع پله اي واحد بصورت زير تعريف مي شود
دامنه اين تابع مجموعه اعداد حقيقي و برد آن مجموعه
است .
تابع علامت كه بصورت
نمايش داده مي شود داراي تعريف زير است
دامنه اين تابع مجموعه اعداد حقيقي وبرد آن
است .
اگر
باشد
، تابعي براي
پيدا كنيم بطوري كه داشته باشيم
حل :
بنابراين
ثابت كنيد كه اگر توابع
توابعي خطي باشند تابع
يك تابع خطي است
حل : مي دانيم كه اگر تابعي چند جمله اي
درجه يك باشد ، انرا تابعي خطي مي گويند پس فرض كنيد
حال نشان مي دهيم
يك تابع چند جمله اي درجه يك است
نمونه 1 : داريم
بنابراين
چون براي
داريم
پس ميتوانيم بنويسيم
به طريق مشابه
و غيره ...
.
نمونه 2 :
( الف) .:
بنابراين
تابعي زوج است .
(ب) .
بنابراين
تابعي فرد است .
(ج) .
بنابراين تابع
نه زوج است نه فرد .
تابع
كه بصورت
تعريف شده باشد ، يك تابع خطي است .
تابع
كه بصورت
تعريف شده باشد يك تابع درجه دوم است .
تابع
كه بصورت
تعريف شده باشد يك تابع درجه سوم است .
اگر تابعي بصورت خارج قسمت دو چند جمله
اي قابل بيان باشد ، تابع گويا ناميده مي شود . تابع جبري تابعي است كه بوسيله
تعداد متنابهي از اعمال جبري روي تابع همان و تابع ثابت به دست
مي آيد . اين اعمال جبري شامل جمع ، تفريق ،
ضرب ، تقسيم ، به توان رساندن و ريشه گرفتن
هستند .
1 – اگر
مطلوب است
الف )
ب)
ج)
د )
ه )
و )
ز )
2 - فرض كنيد تابع
بصورت زير تعريف شده باشد :
الف )
ب)
ج)
د )
ه )
3 -
اگر
فرمول
را بدون علامت قدر مطلق بنويسيد بشرطي كه
الف )
ب )
ج )
4 – در تمرين زير براي توابع
و
توابع زير را تعريف كنيد و قلمرو انها را نيز
بيابيد :
1.
2.
3.
4.
5.
5 – در تمرينات زير تعيين كنيد كداميك از توابع زير زوج
يا فرد مي باشد
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.