به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

فرض کنید که توابع و و و روی بازه ی شامل احتمالا بجز خود تعریف شده باشند و به ازای هر در که داشته باشیم
. همچنین فرض کنید که هر دوی و موجود و برابر باشند . آنگاه موجود و برابر با است. اکنون به بحث درباره چهار قضیه میپردازیم که برای اثبات چند قضیه مهم در بخشهای آینده مورد نیازند .

قضیه 1 : اگر موجود و مثبت باشد , انگاه یک بازه باز شامل وجود دارد که برای هر واقع در آن بازه داریم .

نمونه 1 : تابع f را که به صورت زیر تعریف می شوند در نظر بگیرید .
چون و پس بنا به قضیه 1 یک بازه باز شامل 3 وجود دارد که برای هر واقع در آن بازه داریم , مثلا بازه چنین بازه ای است. در واقع هر بازه باز که برای ان داشته باشیم چنین است.

نمونه 2 : فرض کنید شکل زیر نمودار را نشان میدهد

داریم پس بنا به قضیه فوق, یک بازه باز شامل 2 وجود دارد که برای هر واقع در آن بازه , مثلا چنین بازه ای است. به طور کلی هر بازه باز که در آن چنین است.

قضیه 2: فرض کنید تابع روی بازه باز که شامل عدد است , بجز احتمالا در خود تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد ی وجود دارد که برای آن یک عدد یافت می شود که وقتی در اینصورت, اگر موجود و برابر با یا هر دو منفی باشند. دو حالت درنظر میگیریم.

حالت 1:
یعنی . هیچ مقدار از وجود ندارد که هر دوی این نامساویها به ازای آن برقرار باشند, بنابراین مجموعه جواب حالت 1 , مجموعه تهی است.

حالت 2:
بنابراین مجموعه جواب حالت 2 بازه است پس نامساوی (4) برقرار است اگر در بازه باز باشد. نتیجه میگیریم که در هر بازه باز که برای آن داشته باشیم و بازه ای است که شامل 1 است و برای هر در چنین بازه ای به خصوص بازه چنین است.

قضیه 3: اگر موجود و منفی باشند , آنگاه یک بازه باز شامل وجود دارد که برای هر واقع در این بازه داریم باشد .

نمونه 3 :در شکل زیر نمودار تابعی مانند نشان داده شده که شرایط قضیه را بر آورده میکند . از شکل مشاهده می شود که تعریف نشده ولی تابع روی بازه باز بجز در تعریف شده است. به علاوه اگر آنگاه . از اینرو , از قضیه نتیجه می شود که اگر موجود و برابر باشد, آنگاه . در شکل مشاهده می شود که وجود دارد و برابر عدد 2 است .

قضیه 4: فرض کنید تابع روی بازه باز شامل عدد است بجز احتمالا خود , تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد وجود دارد که به ازای آن یک عدد پیدا میشود که وقتی در اینصورت, اگر موجود و برابر با عدد باشد خواهیم داشت .