به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

ریاضی عمومی / پیوستگی تابع در یک عدد( نقطه)



فرض کنید که توابع f و g و h و روی بازه I ی شامل a احتمالا بجز خود a تعریف شده باشند و به ازای هر x در I که نامساوی داشته باشیم قضیه فشار
. همچنین فرض کنید که هر دوی حد تابع و حد تابع موجود و برابر L باشند . آنگاه L موجود و برابر با L است. اکنون به بحث درباره چهار قضیه میپردازیم که برای اثبات چند قضیه مهم در بخشهای آینده مورد نیازند .

قضیه 1 : اگر حد تابع موجود و مثبت باشد , انگاه یک بازه باز شامل c وجود دارد که برای هر نامساوی واقع در آن بازه داریم . نامساوی

نمونه 1 : تابع f را که به صورت زیر تعریف می شوند در نظر بگیرید .
تابع چون حد تابع و L پس بنا به قضیه 1 یک بازه باز شامل 3 وجود دارد که برای هر L واقع در آن بازه داریم تابع , مثلا بازه بازه چنین بازه ای است. در واقع هر بازه باز که بازه برای ان داشته باشیم بازه چنین است.

نمونه 2 : فرض کنید تابع شکل زیر نمودار را نشان میدهد

نمودار


داریم تابع پس بنا به قضیه فوق, یک بازه باز شامل 2 وجود دارد که برای هر نامساوی واقع در آن بازه , نامساوی مثلا بازه چنین بازه ای است. به طور کلی هر بازه باز بازه که در آن بازه چنین است.

قضیه 2: فرض کنید تابع f روی بازه باز I که شامل عدد c است , بجز احتمالا در خود c تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد M ی وجود دارد که برای آن یک عدد حد یافت می شود که وقتی حد در اینصورت, اگر تابع موجود و برابر با L یا هر دو منفی باشند. دو حالت درنظر میگیریم.

حالت 1:
بازه یعنی بازه . هیچ مقدار از x وجود ندارد که هر دوی این نامساویها به ازای آن برقرار باشند, بنابراین مجموعه جواب حالت 1 , مجموعه تهی است.

حالت 2:
بازه بنابراین مجموعه جواب حالت 2 بازه بازه است پس نامساوی (4) برقرار است اگر x در بازه باز بازه باشد. نتیجه میگیریم که در هر بازه باز بازه که برای آن داشته باشیم بازه و بازه بازه ای است که شامل 1 است و برای هر بازه در چنین بازه ای بازه به خصوص بازه بازه چنین است.

قضیه 3: اگر تابع موجود و منفی باشند , آنگاه یک بازه باز شامل c وجود دارد که برای هر نامساوی واقع در این بازه داریم تابع باشد تابع.

نمونه 3 :در شکل زیر نمودار تابعی مانند f نشان داده شده که شرایط قضیه را بر آورده میکند . از شکل مشاهده می شود که تابع تعریف نشده ولی تابع روی بازه باز تابع بجز در تابع تعریف شده است. به علاوه اگر تابع آنگاه تابع. از اینرو , از قضیه نتیجه می شود که اگر تابع موجود و برابر L باشد, آنگاه بازه. در شکل مشاهده می شود که L وجود دارد و برابر عدد 2 است .

قضیه 4: فرض کنید تابع f روی بازه باز I شامل عدد C است بجز احتمالا خود c , تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد M وجود دارد که به ازای آن یک عدد بازه پیدا میشود که وقتی بازه در اینصورت, اگر تابع موجود و برابر با عدد L باشد خواهیم داشت بازه.


در تمرین های زیر یک تابع f و یک عدد c داده شده است
الف: نشان دهید که

تابع


ب: قضیه را در مورد تابع f بررسی کنید به این منظور یک بازه باز شامل c بیابید که به ازای هر نامساوی در آن بازه داشته باشیم تابع .

تابع
تابع



2 – در تمرین های زیر یک تابع g و یک عدد c داده شده است
الف: نشان دهید که

تابع


ب: قضیه را در مورد تابع g بررسی کنید به این منظور یک بازه شامل c بیابید که به ازای هر نامساوی در آن بازه نامساوی

تابع
تابع


تاریخ بروزرسانی
1400/03/12



advertise
adverse1
adverse1
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است