فرض کنید که توابع
و
و
و روی بازه
ی شامل
احتمالا بجز خود
تعریف شده باشند و به ازای هر
در
که
داشته باشیم
. همچنین فرض کنید که هر دوی
و
موجود و برابر
باشند . آنگاه
موجود و برابر با
است.
اکنون به بحث درباره چهار قضیه میپردازیم که برای اثبات چند قضیه مهم در بخشهای آینده مورد نیازند .
قضیه 1 : اگر
موجود و مثبت باشد , انگاه یک بازه باز شامل
وجود دارد که برای هر
واقع در آن بازه
داریم .
نمونه 1 : تابع f را که به صورت زیر تعریف می شوند در نظر بگیرید .
چون
و
پس بنا به قضیه 1 یک بازه باز شامل 3 وجود دارد که برای هر
واقع در آن بازه داریم
, مثلا بازه
چنین بازه ای است. در واقع هر بازه باز که
برای ان داشته باشیم
چنین است.
نمونه 2 : فرض کنید
شکل زیر نمودار را نشان میدهد
داریم
پس بنا به قضیه فوق, یک بازه باز شامل 2 وجود دارد که برای هر
واقع در آن بازه ,
مثلا
چنین بازه ای است. به طور کلی هر بازه باز
که در آن
چنین است.
قضیه 2: فرض کنید تابع
روی بازه باز
که شامل عدد
است , بجز احتمالا در خود
تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد
ی وجود دارد که برای آن یک عدد
یافت می شود که وقتی
در اینصورت, اگر
موجود و برابر با
یا هر دو منفی باشند. دو حالت درنظر میگیریم.
حالت 1:
یعنی
. هیچ مقدار از
وجود ندارد که هر دوی این نامساویها به ازای آن برقرار باشند, بنابراین مجموعه جواب حالت 1 , مجموعه تهی است.
حالت 2:
بنابراین مجموعه جواب حالت 2 بازه
است پس
نامساوی (4) برقرار است اگر
در بازه باز
باشد. نتیجه میگیریم که در هر بازه باز
که برای آن داشته باشیم
و
بازه ای است که شامل 1 است و برای هر
در چنین بازه ای
به خصوص بازه
چنین است.
قضیه 3: اگر
موجود و منفی باشند , آنگاه یک بازه باز شامل
وجود دارد که برای هر
واقع در این بازه داریم
باشد
.
نمونه 3 :در شکل زیر نمودار تابعی مانند
نشان داده شده که شرایط قضیه را بر آورده میکند . از شکل مشاهده می شود که
تعریف نشده ولی تابع روی بازه باز
بجز در
تعریف شده است. به علاوه اگر
آنگاه
.
از اینرو , از قضیه نتیجه می شود که اگر
موجود و برابر
باشد, آنگاه
.
در شکل مشاهده می شود که
وجود دارد و برابر عدد 2 است .
قضیه 4: فرض کنید تابع
روی بازه باز
شامل عدد
است بجز احتمالا خود
, تعریف شده است. همچنین فرض کنید عدد
وجود دارد که به ازای آن یک عدد
پیدا میشود که وقتی
در اینصورت, اگر
موجود و برابر با عدد
باشد خواهیم داشت .
در تمرین های زیر یک تابع
و یک عدد
داده شده است
الف:
نشان دهید که
ب: قضیه را در مورد تابع
بررسی کنید به این منظور یک بازه باز شامل
بیابید که به ازای هر
در آن بازه داشته باشیم .
2 – در تمرین های زیر یک تابع
و یک عدد
داده شده است
الف: نشان دهید که
ب: قضیه را در مورد تابع
بررسی کنید به این منظور یک بازه شامل
بیابید که به ازای هر
در آن بازه