اين معادلات به شكل كلي مي باشند:
- برای معادله ديفرانسيل همگن داریم
- برای معادله ديفرانسيل ناهمگن داریم
قضايا :
1- اگر
جوابهاي عمومي و خصوصي معادله ديفرانسيل باشند آنگاه
نيز يك جواب معادله ديفرانسيل مي باشد.
2-اگر
دوجواب معادله ديفرانسيل باشندانگاه
نيز يك جواب مي باشد.
وابسته خطي :
اگر (f(x و (g(x در فاصله [a,b] تعريف شده باشد و يكي از آنها مضربي از ديگري باشد وابسته خطي مي باشند در غير اينصورت مستقل خطي مي باشد.
3-هرگاه
حل معادله ديفرانسيل
باشد آنگاه براي
خواهيم داشت :
كه دترمينان اين دستگاه رونسكي معادله ديفرانسيل ناميده مي شود يعني
كه با جا گذاري درمعادله ديفرانسيل خواهيم داشت :
اگر m=-p/2 آنگاه
حل معادلات ديفرانسيل مرتبه دوم با ضرايب ثابت:
الف-
جواب ويژه را بصورت زیر در نظر مي گيريم:
مثال:معادله ديفرانسيل زیر را حل كنيد.
حل:
اگر معادله دیفرانسيل برابر با يك تابع نمايي بود يعني
آنگاه جواب ويژه بصورت خواهد بود
اگر ريشه هاي تكراري داشتيم از معادله استفاده خواهيم كرد .
مثال : معادله ديفرانسيل را حل كنيد .
حل : با جاگذري
در معادله ديفرانسيل خواهيم داشت .
در نتيجه چون بايد داشته باشیم
به همين نحو
اگر
در هر حالت اگر
معادله مشخصه نباشد جواب به صورت
اگر
ريشه باشد با مرتبه تكرار r آنگاه جواب بصورت زیر خواهد بود
مثال : معادله ديفرانسيل راحل كنيد .
حل : در اين مثال
و
ريشه معادله مشخصه نيست بنابر اين جواب بصورت
اگر
باشد آنگاه
اگر
a ريشه معادله مشخصه با مرتبه تكرار
r باشد آنگاه از جواب بصورت استفاده مي كنيم .
مثال : معادله ديفرانسيل را حل كنيد .
حل : داريم
اگر
جواب معادله ديفرانسيل و اگر
جواب معادله مشخص نباشد جواب بصورت
اگر
معادله مشخصه با مرتبه r باشد آنگاه
مثال :معادله دیفرانسیل را حل کنید.
جواب بصورت
مي باشد . بنابر اين
در نتيجه
مي باشد.
اگر
انگاه جواب بصورت
مي باشد.به شرط اينكه
ريشه معادله مشخصه نباشد اگر باشد آنگاه جواب بصورت
مي باشد.
مثال :معادله ديفرانسيل
با شرايط اوليه
راحل كنيد.
حل : داريم
با استفاده از شرايط اوليه داريم .
اگر حالت ها ي مختلفي از موارد فوق داشته باشيم نيز به همين نحو عمل مي كنيم.به مثال زير توجه كنيد :
مثال : معادله ديفرانسيل را حل كنيد .
براحتي مي دانيم كه جواب ويژه
برابر است با
و جواب ويژه
برابر است با
تمعادلات ديفرانسيل زير را حل كنيد.