مشتق توابع مرکب|قاعده زنجیره ای, نماد تابع مرکب

مشتق / مشتق توابع مرکب

درسنامه
تمرین

تصور کنید که تابعی از و به نوبه خود تابعی از باشد. مثلا فرض کنید

(1)

(2)

معادلات (1) و (2) , همراه با هم را به عنوان تابعی از تعریف میکنند زیرا اگر در معادله (1) به جای , طرف راست معادله (2) را قرار دهیم, داریم

که در آن تابع مرکبی است که قبلا تعریف شده است. یک قضیه مهم در مورد مشتق گیری از توابع مرکب در زیر امده است که به نام قاعده زنجیره ای معروف است.

قضیه 1-7: ( قاعده زنجیره ای)
فرض کنید تابعی از است که به صورت تعریف شده است, و وجود دارد, و نیز فرض کنید تابعی از است که به صورت تعریف شده است, و مشتق وجود دارد, در اینصورت, تابعی از است و وجود دارد و از رابطه زیر به دست می آید.

قبل از اثبات قاعده زنجیره ای, نمونه ای ارائه میدهیم که کارکرد این را نشان میدهد.

نمونه 1: مشتق توابع مرکب برای به دست امدن , را تابعی از درنظر میگیریم که تابعی از است. پس که در آن بنابراین, با استفاده از قاعده زنجیره ای خواهید داشت