به سایت آموزش ریاضیات و رمزنگاری خوش آمدید

ریاضی عمومی / حد بینهایت



تابع Equation را که با ضابطه Equation تعریف میشود را در نظر بگیرید نمودار این تابع در شکل زیر نشان داده شده است.

Equation


فرض کنید Equation مقادیر 10 و 100 و 1000 و مانند اینها را اختیار کند, و به طور بیکران افزایش یابد. ملاحظه می شود که درحالی که Equation با مقادیر مثبت افزایش پیدا می یابد, مقادیر تابع Equation به 2 نزدیک و نزدیکتر می شوند. بخصوص وقتی, Equation اگر به این کار ادامه دهیم, بطور شهودی ملاحظه میکنیم که مقادیر Equation را میتوانیم به دلخواه به 2 نزدیک کنیم به شرطی که Equation بزرگتر از یک عدد مثبت به اندازه کافی بزرگ, اختیار شود. و یا با یک گام پیشروی برای هر Equation , هرقدر که کوچک باشد, میتوانیم یک عدد Equation پیدا کنیم که وقتی Equation , داشته باشیم Equation وقتی یک متغیر مستقل مانند x به طور بیکران با مقادیر مثبت افزایش می یابد, مینویسیم Equation بنابراین, با توجه به مثال توضیحی فوق, میتوان نوشت

Equation


تعریف 1:
فرض کنید f تابعی باشد که به ازای هر عدد در بازه ای مانند Equation تعریف شده است. می گوئیم حد تابع Equation وقتی به طور بیکران افزایش می یابد برابربا عددL است و مینویسیم :

Equation (1)


اگر برای هر Equation, هر قدر کوچک, یک عدد Equation وجود داشته باشد. که وقتی Equation دقت کنید که مقادیر این تابع به ازای اعداد منفی با مقادیر آن به ازای اعداد مثبت متناظر برابر است. پس, به طور شهودی ملاحظه می کنیم که وقتیx به طور بیکران کاهش می یابد, Equation به سمت 2 میل میکند یعنی |f(x)-2|, را میتوان به قدر کافی کوچک اختیار کرد, به این طریق کهx را عددی کوچکتر از یک عدد منفی درنظر بکیریم که قدر مطلق آن به اندازه کافی بزرگ باشد. به طور رسمی می گوییم برای هر ε>0, هرقدر که کوچک باشد, میتوان یک عدد N < 0 یافت که وقتی N>x, داشته باشیم Equation . با استفاده از علامت Equation برای نشان دادن این امر که متغیرx به طور بیکران کاهش می یابد مینویسیم

Equation (2)


اگر برای هر ε>0, هر قدر کوچک , یک عدد N<0 وجود داشته باشد که وقتی Equation

قضیه حدی:
اگر عدد صحیح و مثبتی باشد آنگاه

Equation (i)

Equation (ii)


مثال 1: عبارات زیر را محاسبه کنید

Equation


حل: برای استفاده از قضیه حدی, صورت و مخرج کسر را برx تقسیم میکنیم و به دست می اوریم

Equation


مثال 2: عبارات زیر را محاسبه کنید

Equation


حل: صورت و مخرج کسر را برx تقسیم میکنیم. در مخرج فرض میکنیم Equation زیرا تنها مقادیر مثبت x مورد نظر ما هستند

Equation


مثال 3: عبارت زیر را محاسبه نمائید

Equation


حل:

Equation


بنابراین, حد مخرج صفر است . مخرج با مقادیر مثبت به سمت صفر میل میکند حد صورت برابر 1 است و لذا بنا به قضیه حدی 12 (i) نتیجه می شود که

Equation


تعریف
گفته میشود خط y=b یک مجانب افقی نمودار تابع f است اگر دست کم یکی از عبارات زیر درست باشد .
Equation و به ازای یک عدد Equation وقتی Equation
Equationو به ازای یک عدد Equation وقتیEquation

نمونه 1: در هریک از شکلهای زیر قسمتی از نمودار تابعی نشان داده شده است که خط y=b برای آن یک مجانب افقی است

Equation Equation
Equation Equation


مثال 4 : مجانبهای افقی نمودار تابع Equation را بیابید و نمودارش را رسم کنید
حل :

Equation

برای محاسبه این حد مینویسیم Equation و Equation صورت و مخرج را بر Equation تقسیم میکنیم

Equation


پس بنا به تعریف(i) خط y=1یک مجانب افقی است اکنون Equation را در نظر بگیریم در این حالت مینویسیم Equation زیرا اگر Equation صورت و مخرج با استفاده از Equationتبدیل میکنیم لذا

Equation


پس بنا به تعریف (ii) خط y=1 یک مجانب افقی است. نمودار در شکل زیر رسم شده است

Equation


مثال 5: مجانبهای افقی و قائم نمودار تابع Equation نمودار تابع را رسم کنید
حل:

Equation


بنا بر این

Equation (1)

Equation (2)


اگر در صورت و مخرج کسر را تجزیه کنیم داریم

Equation

چهار حد زیر را درنظر بگیریم

Equation

Equation

Equation

Equation


برای محاسبه

Equation

ملاحظه کنید که

Equation
و
Equation


که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر مثبت به سمت صقر میل میکند لذا بنا به قضیه حدی 12 (i) داریم

Equation


چون

Equation

Equation


که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر منفی به سمت صفر میل میکند, از قضیه حدی 12 (ii) نتیجه می شود که

Equation


با استفاده از قضیه حدی 12 (iv) , f(x) را محاسبه میکنیم
چون

Equation

Equation


که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر منفی به سمت صفر میل میکند, پس

Equation (5)


چون

Equation

Equation


که در آن (x-3)(x+3) با مقادیر مثبت به سمت صفر میل میکند, با توجه به قضیه حدی 12 (iii) داریم

Equation (6)


از (1) و (2) و تعریف این نتیحه به دست می آید که خط Equation یک مجانب افقی نمودارf است. (3) تا (6) و تعریف نتیجه می شود که خطوط Equation مجانبهای قائم نمودار هستند . با توجه به معادله داده شده, نمودار f شامل نقاط (5,5) و (4,5) است معدودی از نقاط دیگر را مشخص میکنیم و از اطلاعاتی که در (1) و (6) نهفته است بهره میگیریم تا نمودار مربوطه را ایجاد کنیم.

مثال6: با استفاده از تعریف ثابت کنید.

Equation


حل: به ازای هر N>0 باید δ>0 را طوری تعین کنیم که داشته باشیم Equation وقتی که Equation و یا (1) Equation وقتی که Equation حال با انتخاب Equation مناسب یک کران بالا برای Equation تعین میکیم اگر Equation اختیار شود میتوان نوشت Equation و یا به عبارت دیگر

Equation


با استفاده از 1 و 2 داریم

Equation


و با استفاده از 3 و Equation کافی است که Equation اختیار شود
مثال7: حد تابع Equation وقتی x به سمت 1 میل میکند را بیابید.
حل: چونEquation داریم Equation اگر Equation بنابراین Equation و Equation و چون Equation پس مخرج با مقادیر منفی Equation به سمت صفر میل میکند و در نتیجه

Equation


مثال 8: مجانبهای تابع Equation را بیابید
حل: چون با تبدیل Equation به Equation معادله عوض نمی شود پس نمودار تابع نسبت به محورEquationها متقارن است. ابتدا نمودار تابع را برای Equation رسم کرده و سپس با استفاده از خاصیت تقارن شکل را کامل میکنیم

Equation


در نتیجه Equation مجانب افقی تابع می باشد . چون Equation اگر Equation باشد . بنابراین خط Equation ممکن است مجانب قائم تابع باشد و چون

Equation


پس خط Equation مجانب قائم بوده و منحنی نمودار تابع از سمت راست به این مجانب میل خواهد کرد. از طرف دیگر چون

Equation


نتیجه میدهد که منحنی نمودار تابع از سمت چپ به این مجانب میل خواهد کرد. و چون Equation لذا منحنی از مبدا نیز میگذرد.

Equation Equation


در تمرینهای زیر حد های خواسته شده را محاسبه کنید .

1.Equation

2.Equation

3.Equation

4.Equation

5.Equation

6.Equation

مجانبهای قائم و افقی معادله های زیر را بنویسید.


7.Equation

8.Equation

9.Equation

10.Equation

11.Equation




تاریخ بروزرسانی
1400/01/27



advertise
adverse1
adverse1
advertise

نظرات و پیشنهادات خود را با آدرس admin[@]ircrypt(.)com با ما در میان بگذارید
نقل مطالب سایت با درج منبع بلا مانع است