در
تعريف
,
هائي را درنظر ميگيريم
كه در يك بازه شامل
و نه
خود
باشند ، يعني مقادير
نزديك به
را چه
بزرگتر و يا كوچكتر
از باشند .
حال فرض كنيد تابعي چون
داريم كه
چون براي
مقدار
وجود ندارد . بنابراين
در هيچ بازه باز شامل
4
معين نيست
.
لذا
بي معني است . با وجود اين
، اگر
را به مقادير بزرگتر از
4
محدود كنيم ، مي توانيم مقدار
را به اندازه دلخواه به
نزديك كنيم ، با شرط اينكه
ها را بزرگتر از
4
ولي به اندازه كافي نزديك به
4
بگيريم . درچنين حالتي
ها را از سمت راست
به
4
ميل ميدهيم و حد
يكطرفه از راست يا حد راست را طبق تعريف زير داريم :
فرض كنيد تابع
براي هر عدد در بازه بازي چون
تعريف شده باشد. حد
وقتي
از سمت راست به
ميل ميكند برابربا
است و نوشته مي شود :
هرگاه براي هر
هرقدر كوچك ، يك
وجود داشته باشد كه
توجه كنيد كه در عبارت (1) چون در دو طرف علامت قدر مطلق وجود ندارد. از تعريف نتيجه ميشود كه
وقتي حد يك تابع را درنظر ميگيريم ، اگر متغير مستقل
را به مقادير كوچكتر از عدي مانند
محدود كنيم
، ميگوئيم
از سمت چپ به
ميل
ميكند و در اينصورت حد را حد يكطرفه از چپ ميناميم.
فرض كنيد تابع براي هر عدد در بازه بازي چون تعريف شده باشد. حد وقتي از سمت چپ به ميل ميكند برابربا است و نوشته مي شود :
هرگاه براي هر
هرقدر كوچك ، يك
وجود داشته باشد كه
جهت تميز دادن
از حد هاي يكطرفه مي توانيم
را حد دوطرفه يا حد بدون جهت بناميم .
اگر در قضاياي حدي بجاي
،
يا
گذاشته شود در درستي آنها تغيري حاصل نميشود .
مثال : فرض كنيد تابع
با ضابطه زير تعريف شده باشد .
(الف ) نمودار را رسم كنيد .
(ب) حد چپ را درصورت وجود بيابيد .
(ج) حد راست را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار تابع در شكل زير رسم شده است :
در مثال فوق چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند ، حد
دوطرفه
وجود ندارد اين قضيه را به صورت زير بيان مي كنيم :
قضيه 11 :
وجود دارد و برابر با
است اگر و تنها اگر
و
هر دو موجود و برابر
باشند .
مثال 10 : فرض كنيد تابع
با ضابه زير تعريف شده باشد :
(الف) نمودار
را رسم كنيد.
(ب)
را درصورت وجود بيابيد .
حل : نمودار
در شكل زير رسم شده است
:
پس
بنا به قضيه فوق
وجود دارد و برابر
0
است
. توجه كنيد كه
، و هيچ اثري روي
ندارد.
مثال 11 :حد تابع را در شرایط زیر محاسبه کنید:
حل
: با استفاده از تعريف قدر مطلق داريم :
(لف )
(ب)
(ج)
چون حد هاي چپ و راست برابر نيستند
پس
وجود ندارد
.
مثال 12 :حد تابع مقابل را محاسبه كنيد
(الف)
(ب)
(ج)
حل :
( الف ) اگر
باشد ميدانيم
بنابراين
(ب) اگر
باشد ميدانيم
بنابراين
ج) چون حد چپ و راست با هم برابر نيستند بنابراين
وجود ندارد
مثال 13 : اگر
( الف )
( ب)
(ج )
حل : اگر
باشد داريم
و
و اگر
بنابراين
و اگر
باشد .
،
و
(الف )
(ب)
(ج)
چون حد چپ و راست با هم برابر هستند
درتمرينهاي زير نمودار تابع را رسم كنيد حد هاي مشخص شده را درصورت وجود بيابيد .
اگر حد وجود ندارد دليل آنرا ذكر كنيد :
1 -
2 –
3 –
4 –
5 –
6 –
7 – تابع f
مفروض است مطلوب است مقدار
به طوري كه
وجود داشته باشد .