معادله مشتمل بر مشتقات را معادله ديفرانسيل مي نامند . معادلات زير مثال هايي از آن هستند .

اگر همچون معادلات 1 الي 5 متغير نابسته منفردي در معادله شركت كند مشتقات مشمول در معادله از نوع معمولي بوده و معادله به نام معادله ديفرانسيل معمولي خوانده مي شود.
اگر همچون معادلات 6 و 7 دو متغير نابسته و يا بيشتر در معادله شركت داشته باشد مشتقات موجود در معادله از نوع مشتقات جزئي بوده و معادله به نام معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خوانده مي شود.
تعريف:مرتبه معادلات ديفرانسيل عبارت است از بالا ترين مرتبه مشتقات موجود در معادله . معادله 2, 5, 7 از مرتبه دوم معادلات1, 3 و6 از مرتبه اول ومعادله 4 از مرتبه سوم است.
درجه معادله ديفرانسيل كه مي تواند به صورت يك چند جمله اي بر حسب مشتقات بيان شود عبارت است از بزرگترين توان بالاترين مرتبه مشتق موجود در معادله همه مثالهاي فوق به جز 5 از درجه اول مي باشند .
معادلات ديفرانسيل در علوم مختلف كاربرد دارد كه در زير چند نمونه آن را باهم بررسي مي كنيم.
مثال 1- منحني با اين شرط تعريف شده است كه در هر نقطه (x,y) از آن شيب منحني با دو برابر حاصل جمع مختصات آن نقطه برابر است. اين شرط را با معادله ديفرانسيل نشان دهيد.

حل:معادله اي كه شرط مسئله را بيان مي كند عبارت است از :

مثال 2-نرخ تبديل يكصد گرم نيشكر محلول در اب به گلوكز با مقدار تبديل نشده آن متناسب است معادله ديفرانسيلي را پيدا كنيد كه نرخ تبديل را بعد از 4 دقيقه بيان كند.
حل: اگر q را تعداد گرم هايي از نيشكر در نظر بگيريد كه در t دقيقه تبديل شده اند آنگاه

تعداد گرم هاي تبديل نشده خواهد بود در اين صورت نرخ تبديل به صورت

در مي ايد كه در آن k مقدار ثابت تناسب مي باشد.

مثال3- معادله ديفرانسيلي را بيابيد كه با معادله زیر همراه باشد.

حل از آنجائيكه در اين معادله اوليه سه ثابت اختياري وجود دارد بنابر اين چهار معادله زير را مورد ملاحظه قرار مي دهيم:

مثال4-معادله ديفرانسيل مربوط به معادله زیر را به دست آوريد.

حل: با ديفرانسيل گيري نسبت به x خواهيم داشت

اين معادله ديفرانسيل را مي توان بصورت زير نوشت:

يكي از كاربرد هاي معادله ديفرانسيل تبديل مسائل و پديده هاي طبيعي به شكل معادله ديفرانسيل مي باشد و بعداز حل معادله ديفرانسيل جواب را به صورت اوليه در آوردن است. به مثال هاي زير توجه كنيد.


مثال 5-معادله ديفرانسيل خانواده دايره هايي راپيدا كنيد كه r شعاع ثابت آنها بوده و مركزشان روي محو رx ها باشد.

حل: معادله خانواده چنين دايره هايي به صورت

است كه در آن c ثابت دلخواه مي باشد .از اينرو

بوده و معادله ديفرانسيل مطلوب به صورت زیر است.

مثال 6: مجموعه خمهايي را بيابيد كه داراي خصوصيات زير باشد.
مجموعه اي از خط مماس كه توسط محور x ها به دوقسمت تقسيم مي شود .

معادله خط PQ بصورت

تمرين:
1-دسته خمهايي را بيابيد كه با ناحيه محدود شده به محور x ها و خط مماس از نقطه (P(x,y از يكي از خمهاي اين دسته و تصوير خط مماس روي محور x ها برابر A باشد.

2-معادله دسته خمهايي را بيابيد كه زاويه بين خط مماس و خط عمود به خم در هر نقطه خم توسط شعاع برداري از نقطه نصف مي شود.

3-دسته خمهايي را بيابيد كه داراي ويژگي زير باشد .
ناحيه محدود شده به يكي از خمها و محور x ها و خطوط x=a,x=x رابطه مستقيم دارد به طول خم دو خط مذبور